Позиционные системы счисления

Цифры и числа

Система счисления - это способ записи чисел при помощи письменных знаков. Системы счисления бывают позиционные, непозиционные и смешанные.

Цифры и основание системы счисления

В позиционных системах счисления для записи чисел используются числовые знаки, они же - цифры.

Всем привычная десятичная система счисления - позиционная. Двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления - это тоже позиционные системы счисления.

Позиционные системы счисления различаются между собой количеством используемых в них цифр. Например, в десятичной системе счисления используется десять цифр от 0 до 9. Собственно, система счисления называется десятичной потому, что в ней используется десять цифр. В двоичной - как следует из названия - используется только две цифры - это 0 и 1. В восьмеричной - восемь цифр от 0 до 7. Количество используемых в системе счисления цифр называется основанием системы счисления.

Если основание системы счисления больше 10, то обычно используют буквы латинского алфавита, начиная с A. Так, в шестнадцатеричной системе счисления для записи чисел используются десятичные цифры от 0 до 9 (10 символов) и буквы от А до F (плюс ещё 6 недостающих символов) - всего шестнадцать разных цифр. Когда буквы используются при записи числа, то они тоже называются цифрами - например, цифра “A”.

Обычно из контекста понятно, в какой системе счисления записано число. Например, если Вы читаете новости на каком-нибудь сайте, и там написано, что «учёные установили, что длина экватора Земли равна примерно 40075.7 км», то Вам врядли покажется, что это число в восьмеричной или в шестнадцатеричной системе счисления. Обычно все числа записываются в десятичной системе счисления - и в данном случае по умолчанию считается, что число тоже записано в десятичной системе счисления.

Но в некоторых случаях, чаще всего, когда используются числа в разных системах счисления, важно знать, в какой системе счисления записано это число. Чтобы отличать основания систем счисления, это основание записывается как нижний индекс после числа. Например “40075.710” - означает явно, что это число записано в десятичной системе счисления. Если бы было записано так: “40075.78”, то это число следовало бы интерпретировать как число в восьмеричной системе счисления.

Десятичная система счисления

Одна и та же цифра в позиционной системе счисления имеет разное значение в зависимости от того, где эта цифра находится в числе.

Например, число 175.310 в десятичной системе счисления содержит в себе четыре цифры - 1, 7, 5 и 3. В этом числе 3 - это десятые доли, 5 - это количество единиц, 7 - это количество десятков, а 1 - это количество сотен. Если перед единицей дописать ещё цифру, то это будут уже тысячи.

Значение, которое добавляет цифра в десятичной системе счисления во всё число, определяется по формуле: 10позиция. Позиции нумеруются начиная с нуля, причём цифра, стоящая непосредственно перед десятичной точкой, всегда считается нулевой позицией. Влево номер позиции увеличивается, а вправо - уменьшается.

Теперь, если перемножим и сложим цифры, мы получим, собственно само число: 1*100+7*10+5+3/10=175.310.

Эта формула справедлива для абсолютно любых позиционных систем счисления, только в каждой системе счисления вместо 10 подставляется своё основание.

Восьмеричная система счисления

Например, в восьмеричной системе счисления число 327.48 - означает 3 64-ки, 2 восьмёрки, 7 единиц и 4 восьмых долей (то есть, в десятичной это было бы число 64*3+2*8+7+4/8=219.510):

Двоичная система счисления

Пример для числа 101.112 в двоичной системе счисления:

Число 101.112 в двоичной системе счисления означает одну четвёрку, одну единицу, одну половинку и одну четвертинку. Если сложить, получится всего 5.7510.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления содержит 16 цифр - это цифры от 0 до 9 (соответствуют десятичным цифрам) и буквы от A до F, соответствие которых десятичным эквивалентам можно запомнить, а можно каждый раз в уме подсчитывать (1010 - это А16, 1110 - это B16, 1210 - это C16, 1310 - это D16, 1410 - это E16, а 1510 - это F16).

Все остальные правила, по которым представляются числа в разных позиционных системах счисления - абсолютно одинаковые. Меняется только количество используемых цифр, всё остальное - точно так же, как во всем привычной десятичной системе счисления.

Поэтому, Вы можете считать, что Вы разобрались с системами счисления, если Вы разобрались не только в каких-то определённых системах счисления (например, только в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной), а если Вы разобрались в любой системе счисления. В том числе, в троичной, в девятиричной, в двенадцатеричной, в двадцатисемиричной - и вообще в любой.

И поэтому, если в данный момент Вам ещё не понятно что-то с шестнадцатеричной системой счисления, то я рекомендовал бы Вам ещё раз прочитать и поглубже разобраться с тем, что написано выше на этой странице.

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления - это такой способ записи чисел, в которых значение знака зависит не от позиции, а от каких-то других правил. Пример непозиционной системы счисления - всем известная римская система счисления. Для записи чисел в римской системе счисления используются римские цифры.

Хотя, строго говоря, римская система счисления не является полностью непозиционной. Так, меньшая цифра, записанная перед большей, вычитается из неё, а записанная после большей - прибавляется (то есть, значение цифры всё-таки зависит от позиции). Например, IVримская=410, в то время как VIримская=610.

Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

Перевод числа из двоичной системы в десятичную. Возьмем любое двоичное число, например 10,112. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

10,112 = 1 × 21 + 0 × 20 + 1 × 2-1 + 1 × 2-2 = 1 × 2 + 0 × 1 + 1 × 1/2 + 1 × 1/4 = 2,7510.

Перевод чисел из восьмеричной системы в десятичную.

Возьмем любое восьмеричное число, например 67,58. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

67,58 = 6 × 81 + 7 × 80 + 5 × 8-1 = 6 × 8 + 7 × 1 + 5 × 1/8 = 55,62510 .

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную. Возьмем любое шестнадцатеричное число, например 19F16. Запишем его в развернутой форме (при этом необходимо помнить, что шестнадцатеричная цифра F соответствует десятичному числу 15) и произведем вычисления:

19F16 = 1 × 162 + 9 × 161 + F × 160 = 1 × 256 + 9 × 16 + 15 × 1 = 41510.

1.11. Перевести в десятичную систему следующие числа: 1012, 1102, 1112, 78, 118, 228, 1А16, BF16, 9C16

1.12. Провести проверку выполнения задания 1.11 с помощью электронного калькулятора.